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题目解析：2<=n<2^54，如果n是素数直接输出，否则求N的最小质因数。

求大整数最小质因数的算法没看懂，不打算看了，直接贴代码，以后当模版用。

数据比较大，只能先用Miller_Rabin算法进行素数判断。

在用Pollard_rho分解因子。

 

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            typedef long long ll;#define Time 15 //随机算法判定次数，Time越大，判错概率越小using namespace std;ll n,ans,factor[10001];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）ll tol;//质因数的个数，数组下标从0开始//****************************************************************// Miller_Rabin 算法进行素数测试//速度快，而且可以判断 <2^63的数//****************************************************************long long mult_mod(ll a,ll b,ll c)//计算 (a*b)%c. a,b都是ll的数，直接相乘可能溢出的{ a%=c;// 利用二分思想减少相乘的时间 b%=c; ll ret=0; while(b) { if(b&1) { ret+=a; ret%=c; } a<<=1; if(a>=c)a%=c; b>>=1; } return ret;}ll pow_mod(ll x,ll n,ll mod)//x^n%n{ if(n==1)return x%mod; x%=mod; ll tmp=x; ll ret=1; while(n) { if(n&1) ret=mult_mod(ret,tmp,mod); tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod); n>>=1; } return ret;}//以a为基,n-1=x*2^t a^(n-1)=1(mod n) 验证n是不是合数//一定是合数返回true,不一定返回false//二次探测bool check(ll a,ll n,ll x,ll t){ ll ret=pow_mod(a,x,n); ll last=ret; for(int i=1; i<=t; i++) { ret=mult_mod(ret,ret,n); if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数 last=ret; } if(ret!=1) return true; return false;}// Miller_Rabin()算法素数判定//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)//合数返回false;bool Miller_Rabin(ll n){ if(n<2)return false; if(n==2||n==3||n==5||n==7)return true; if(n==1||(n%2==0)||(n%3==0)||(n%5==0)||(n%7==0)) return false;//偶数 ll x=n-1; ll t=0; while((x&1)==0) { x>>=1; t++; } for(int i=0; i
            
             =n) p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1); findfac(p);//递归调用 findfac(n/p);}int main(){ int T; //srand(time(NULL));加上RE不懂 scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%lld",&n);//(n>=2) /*if(n==1) { printf("1\n"); continue; }*/ if(Miller_Rabin(n)) { printf("Prime\n"); continue; } tol=0; findfac(n);//对n分解质因子 ll ans=factor[0]; for(int i=1; i
            
           
          
         
        
       
      
     

 

算法解析：

 由费马小定理可以知道，若p是素数且a是整数，则满足a^p==a(mod p)。若存在正整数a不满足a^p==a(mod p),那么p是合数。

定义：令a是一个正整数，若p是合数且满足a^p==a(mod p)，则p称为以a为基的伪素数。

Miller-Rabin素数测试算法原理： 假如p是素数，且(a,p)==1,(a为任意小于p的正整数），那么a^p-1==1(mod p)。如果a^p-1==1(mod p)，

则可认为n是素数，取多个底进行试验，次数越多，n为素数概率越大。（我的个人理解多次试验为p换基，使之成为伪素数的可能性大大减小）。

（Miller-Rabin测试：不断选取不超过n-1的基b(s次)，计算是否每次都有b^n-1 ≡ 1(mod n)，若每次都成立则n是素数，否则为合数。）

转载：说Miller-Rabin测试以前先说两个比较高效的求a*b% n 和 a^b %n 的函数，这里都是用到二进制思想，将b拆分成二进制，然后与a相加（相乘）

// a * b % n//例如: b = 1011101那么a * b mod n = (a * 1000000 mod n + a * 10000 mod n + a * 1000 mod n + a * 100 mod n + a * 1 mod n) mod n ll mod_mul(ll a, ll b, ll n) {    ll res = 0;    while(b) {        if(b&1)    res = (res + a) % n;        a = (a + a) % n;//a=(a<<1)%n        b >>= 1;    }    return res;}

这代码很棒，以后计算a*b时，如果里面有一个数很大，则可以选择上面的算法，(nlogn)的时间复杂度。

//a^b % n//同理ll mod_exp(ll a, ll b, ll n) {    ll res = 1;    while(b) {        if(b&1)    res = mod_mul(res, a, n);        a = mod_mul(a, a, n);        b >>= 1;    }    return res;}

快速幂，没什么好说的。

核心代码：

开始程序时需加srand(time(NULL));

bool miller_rabin(ll n){    for(int i=1; i<=N; i++) //N为你打算测试的次数，N(10~20）    {        ll a=random(n-2)+1;//需头文件stdlib.h,random(X)产生0~X的随机数，+1产生1~n-1        if(mod_exp(a,n-1,mod)!=1)        {            "合数";        }    }}

 注意，MIller-Rabin测试是概率型的，不是确定型的，不过由于多次运行后出错的概率非常小，所以实际应用还是可行的。（一次Miller-Rabin测试其成功的概率为3/4）

二次探测定理：（改进）

一个合数n,若对所有满足（b,n)=1的正整数b都有b^n-1==1(mod n)成立，（上面的反例，但出现这种数的几率不大），则称之为卡迈克尔数。

　二次探测　如果p是奇素数，则 x² ≡ 1(mod p)的解为 x = 1 || x = p - 1(mod p);

可以利用二次探测定理在实现Miller-Rabin上添加一些细节，具体实现如下：

bool miller_rabin(ll n) {    if(n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 7 || n == 11)    return true;    if(n == 1 || !(n%2) || !(n%3) || !(n%5) || !(n%7) || !(n%11))    return false;    ll x, pre, u;    int i, j, k = 0;    u = n - 1;    //要求x^u % n    while(!(u&1)) {    //如果u为偶数则u右移，用k记录移位数        k++; u >>= 1;    }    srand((ll)time(0));    for(i = 0; i < S; ++i) {    //进行S次测试        x = rand()%(n-2) + 2;    //在[2, n)中取随机数        if((x%n) == 0)    continue;        x = mod_exp(x, u, n);    //先计算(x^u) % n，        pre = x;        for(j = 0; j < k; ++j) {    //把移位减掉的量补上，并在这地方加上二次探测            x = mod_mul(x, x, n);            if(x == 1 && pre != 1 && pre != n-1)    return false;    //二次探测定理，这里如果x = 1则pre 必须等于 1，或则 n-1否则可以判断不是素数            pre = x;        }        if(x != 1)    return false;    //费马小定理    }    return true;}

前边这个算法经过测试还是比较靠谱的，可以用作模板。

效率上，VC 10 RELEASE 模式下，采用三次循环 M - R，测试第 19999 个素数 224729 时，快除法快 而测试第 20000 个素数 224737 时，M - R 法快

因此，为保证最高效，测试大数 n 时，可以先对其使用前 19999 个素数进行快除法排除，而后再使用 M - R 测试。

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